不思議な図形③

雨だからか、今日は静かめな小林研です。

先日までの話をまとめて、今日はいよいよシェルピンスキーのギャスケットのハウスドルフ次元を計算していきます！

ハウスドルフ次元とは。。。

ある図形を1/Lに分けて、元の形と同じ形がN個現れたとします。

NとLに

​

N=L^{d_h}​

という関係があるとき、このd_hをハウスドルフ次元と言いました。

「線」「面」「立方体」のハウスドルフ次元は、それぞれ、1，2，3となることも確認しましたね。

今日はこれを使って、シェルピンスキーのギャスケットの次元を考えてみましょう。

対数の知識を使うので、少し難しいかもしれませんが、チャレンジ！

昨日までと同じように、考えてみましょう。

​​

https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle#/media/File:Sierpinski_triangle_evolution.svg

まず、三角形の一辺の長さを1/2倍します。

すると、黒い三角形の数は何倍になりますか？

そう、3倍ですね。

本来なら、4倍になるはずですが、真中がくりぬかれているため、3倍にしかなりません。

これを↑の定義から考えてみます。

N=3、L=2なので、

​​3=2^{d_h}

代入するとこうなります。両辺の対数をとって、、、

​​ln3=d_h ln2

d_h=log_2 3

これを電卓で計算すると、ハウスドルフ次元は1.58496250072≃1.58になります。

つまり、1次元よりは大きいけど、2次元よりは小さい、という予想が正しいことが確かめられました。

分数の次元、というとすごく不自然な感じがしますが、数学的にまじめに定義することによって、導くことができます。

こういったフラクタル図形の上での物理を考えると、非常に面白い現象がみることができます。

僕も、卒業研究で取り組んでいます。

おいおい、他の分野についても紹介したいともいます！

ではノ